GAMES105-Lecture 02 Math Background

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Matrix

Representations of 3D Rotation

• 对于旋转矩阵，因为是正交阵，所以旋转矩阵乘它的转置是单位阵，能得到6个式子，但有9个参数，所以自由度是3
• 因为旋转矩阵的行列式是+1，引入了一些约束，但只是让解空间从两瓣变成一瓣，并没有改变自由度

Interpolation

• 平移的插值可以由线性插值解决
• 但是旋转插值不能简单地由线性插值表示
• 好的旋转插值：
  • 希望在每一时刻的旋转是合法的（不会变形）
  • 旋转是以一个常数的速度进行插值（速度不会乱变）
• 旋转矩阵
  • 难以构造
  • 容易应用旋转
  • 难以插值
• 欧拉角
  • 两种公约：一是沿着局部坐标系的xyz轴旋转，另一种是沿着世界坐标系的xyz轴旋转
  • 万向锁问题：在转的时候，两个轴共线，丢失一个自由度
  • 需要三个参数、十二种顺序、以及两种公约
  • 容易构造、容易应用旋转、容易插值
  • 万向锁问题
  • 如果插值在Π和-Π之间插值，有可能会瞬间转一圈
• 旋转向量/轴角表示
  • 因为轴是个单位向量，角度是个常数，所以可以相乘得到一个旋转向量
  • 想要旋转的话，需要先把这个旋转向量转化成旋转矩阵，然后用罗德里格旋转公式
  • 难以做两个旋转向量的旋转组合，需要先变换成旋转矩阵然后相乘后再变回旋转向量
  • 容易做插值，但不能保证旋转速度是恒定的，可以通过复杂点的计算来保证
  • 容易构造、难以应用旋转（需要先转换为旋转矩阵）、容易插值、没有万向锁问题
• 四元数
  • 对二维旋转的拓展
  • 单位四元数和轴角表示涉及的信息是相同的
    • 任何一个三维的旋转可以转为轴角表示
    • 轴角表示可以转化为四元数表示
  • 使用单位四元数对向量进行旋转，为什么是三明治乘法，乘了两个四元数，因为单位四元数里面是θ/2
  • 乘法表示不唯一
  • 旋转组合是两个单位四元数的积
  • 四元数的插值
    • 在四维球壳上找到一个曲线
    • 线性插值后进行单位化得到一个合法四元数
    • 缺点是旋转速度不是恒定的
    • SLER：Spherical Linear Interpolation来解决速度问题
  • 容易构造、容易应用旋转、容易插值、没有万向锁