Transformation
Scale
\[\left[ \begin{matrix} x\prime\\ y\prime \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right]\]Reflection Matrix
- 沿y轴翻转
Shear Matrix
- 水平剪切，水平方向上都移动了a×y
Rotate(about (0,0)，CCW by default)
- 绕原点旋转
- 默认逆时针旋转，可由特殊点推导出
- 用一个正方形的两个点来算就能很快算出这个旋转矩阵（1，0）和（0，1）
Linear Transforms = Matrices(same dimension)
- 变换都可以写成线性变换
Transiation
平移变换不是线性变换，但我们不希望把平移变换当成一个特殊的变换
引入齐次坐标Homogenous Coordinates
\[\left( \begin{matrix} x\prime\\ y\prime\\ w\prime \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} x\\ y\\ 1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} x + t_x\\ y + t_y\\ 1 \end{matrix} \right)\]添加第三位坐标(向量是0，因为向量具有平移不变性)
2D point = $(x,y,1)^T$
2D vector = $(x,y,0)^T$
如果w坐标是1或者0，点和向量的运算也是有效的
vector + vector = vector（z还是0）
point - point = vector（z = 1 - 1 = 0）
point + vector = point（一个点沿着一个向量走，最后还是一个点）
point + point = 这两个点的中点(因为第三位数1+1=2，最后的结果想转换成第三位是1需要x和y同时除以2)
\[\left( \begin{matrix} x\\ y\\ w \end{matrix} \right) 就是2D点 \left( \begin{matrix} \frac{x}{w}\\ \frac{y}{w}\\ 1 \end{matrix} \right),w\neq0\]
Affine Transformations仿射变换
Affine map = linear map + translation（线性变化+平移）
仿射变换都可以转换为齐次坐标的形式
在表示二维情况下的仿射变换时，齐次坐标对应的最后一行才是(0,0,1)，其他情况下有其他的意义
Inverse Transform
\[M^-1\]Composite Transform(复合变换)
- 矩阵没有交换律但有结合律
- 从右到左逐个应用矩阵
Decomposing Complex Transforms
绕C点旋转：先平移，使C移到原点，旋转后，再移回去（C点可以是边缘的也可以是中心点）
$T(c)\cdot R(\alpha)\cdot T(-c)$
3D Transforms
再一次使用齐次坐标
$3D point = (x,y,z,1)^T$
$3D vector = (x,y,z,0)^T$
使用4×4的矩阵表示仿射变换
- 是先做的旋转再做的平移
补充
\[R_\theta= \left( \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix}\right)\\\] \[R_{-\theta}= \left( \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{matrix}\right)=R_\theta^T\\\] \[R_\theta^T=R_\theta^{-1}\]- 旋转矩阵从定义的角度来看，旋转矩阵的逆矩阵（也就是旋转-$\theta$角）与旋转矩阵的转置是相等的